Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若2S₄=S₅+S₆，则数列{a_n}的公比的值为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：先假设q=1，分别利用首项表示出前4、5、及6项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式化简2S₄=S₅+S₆得到关于q的方程，根据q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．

解答： 解：若q=1，则有S₄=4a₁，S₅=5a₁，S₆=6a₁．
但a₁≠0，即得2S₄≠S₅+S₆，与题设矛盾，q≠1．
又依题意2S₄=S₅+S₆得：

a1(1-q5)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

2a1(1-q4)

1-q

，
整理得q⁴（q²+q-2）=0．
由q≠0得方程q²+q-2=0．
（q+2）（q-1）=0，
∵q≠1，q-1≠0，
∴q+2=0
∴q=-2．
故答案为：-2．

点评：本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力，是一道综合题．