Question

已知点H（-6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足

HP

⊥

PQ

，点M在直线PQ上，且满足

PM

=2

MQ

．
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若点M在曲线C：

x=3cost y= 2 sint

（t为参数）上，求点M对应的参数t（0＜t＜2π）的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：对第（Ⅰ）问，先设点M坐标为（x，y），写出向量

HP

，

PQ

，

PM

，

MQ

的坐标，由

HP

⊥

PQ

及

PM

=2

MQ

得到三个方程，消去a，b，可得x与y的关系式；
对第（Ⅱ）问，由题意知，点M为第（Ⅰ）问中所求轨迹与曲线C的交点，可联立此两曲线的方程，消去x与y，即得参数t的值．

解答： 解析：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），
则

HP

=(6，b)，

PQ

=(a，-b)，

PM

=(x，y-b)，

MQ

=(a-x，-y)，
由

HP

⊥

PQ

，得（6，b）•（a，-b）=0，从而6a-b²=0，即a=

b2

6

．…①
由

PM

=2

MQ

，得（x，y-b）=2（a-x，-y），从而

x=2(a-x) y-b=-2y

，即

a= 3 2 x b=3y

，…②
将①式代入②式中，得

b2=9x b=3y

，消去b，得y²=x，
又由点Q（a，0）在x轴的正半轴上知，a＞0，从而x＞0，
故点M的轨迹C的方程为y²=x（x＞0）．　　　　　　　　　
（Ⅱ）依题意，将

x=3cost y= 2 sint

代入y²=x（x＞0）中，
得2sin²t=3cost，即2cos²t+3cost-2=0，
解得cost=

1

2

，
又0＜t＜2π，∴t=

π

3

，

5π

3

，
即点M对应的参数t（0＜t＜2π）的值为

π

3

，

5π

3

．

点评：1．求轨迹方程的一般步骤是：
（1）建系：建系的一般原则是，尽量使题设中的点、线在坐标轴上，本题中坐标系已经建好；
（2）设点：已知图形中的点常设为（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂）等，轨迹上任意一点可设M（x，y）；
（3）列式：即寻找x与y的等量关系，本题通过消参的方式得到了x与y的等量关系，这是最关键的一步；
（4）化简并检验：舍去多余的值，增加遗漏的值，如本题中“x=0”是不合题意的，应舍去．
2．第（Ⅱ）问考查了参数方程的应用，对于两曲线的交点问题，若是求交点坐标，一般是消参后，解两普通方程构成的方程组，或求参数的值，将参数的值代入参数方程中，均可得交点坐标；若是求参数方程中参数的值，一般是将参数方程代入普通方程中，消去x与y，即可得参数的值．