Question

如图四棱锥S-ABCD，底面ABCD是正方形，SD⊥底面ABCD，M为SC的中点．
（1）求证：SA∥平面MBD
（2）证明：平面SAC⊥平面SBD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，交BD于点O，由三角形中位线定理得OM∥SA，由此能证明SA∥平面MBD．
（2）由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得AC⊥SD，从而得到AC⊥面SBD，由此能证明平面SAC⊥平面SBD．

解答： 证明：（1）连结AC，交BD于点O，
∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵M是SC中点，∴OM∥SA，
∵OM?面MBD，SA不包含于面MBD，
∴SA∥平面MBD．
（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，
∵BD、SD是面SBD内两相交线，
∴AC⊥面SBD，
又∵AC?面SAC，
∴平面SAC⊥平面SBD．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．