Question

设等差数列{a_n}的首项a₁为a，公差d=2，前n项和为S_n．
（Ⅰ）若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对n∈N^*，a∈R，S_n•S_n+2-S_n+1²＜0成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列的前n项和，结合S₁，S₂，S₄成等比数列，求出a，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的qiann项和，计算S_n•S_n+2-S_n+1²的值，证明小于0即可．

解答： 解：（Ⅰ）等差数列{a_n}的首项a₁为a，公差d=2，前n项和为S_n=na+n（n-1）=n²+（a-1）n．
S₁=a，S₂=2a+2，S₄=4a+12，S₁，S₂，S₄等比数列，∴（2a+2）²=a（4a+12），解得a=1，
数列{a_n}的通项公式：a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）S_n=n²+（a-1）n，
对n∈N^*，a∈R，
S_n•S_n+2-S_n+1²=[n²+（a-1）n][（n+2）²+（a-1）（n+2）]-[（n+1）²+（a-1）（n+1）]²
=n（n+2）[（n+a）²-1]-（n+1）²（n+a）²
=-（n+a）²-n（n+2）＜0．
∴对n∈N^*，a∈R，S_n•S_n+2-S_n+1²＜0成立．

点评：本题考查数列求和，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．