Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，AB=

2

．
（Ⅰ）求证：平面AB₁C⊥平面B₁CB；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面AB₁C⊥面B₁CB．
（Ⅱ）利用向量法求出点A₁到平面AB₁C的距离，由此能求出三棱锥A₁-AB₁C的体积．

解答： （Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AC=BC=BB1=1，AB=

2

，
∴CA⊥CB，AB1=CB1=

2

，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，1，1），

CA

=(1，0，0)，

CB1

=(0，1，1)，
设平面ACB₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • CA =x=0 n • CB1 =y+z=0

，取y=1，得

n

=(0，1，-1)，
又平面B₁CB的法向量

m

=(1，0，0)，
∵

m

•

n

=0，∴平面AB₁C⊥平面B₁CB．
（Ⅱ）A1(1，0，1)，

CA1

=(1，0，1)，
点A₁到平面AB₁C的距离d=

| CA1 • n |

| n |

=

|-1|

2 • 2

=

1

2

，
S△ACB1=

1

2

×1×

2- 1 4

=

7

4

，
∴三棱锥A₁-AB₁C的体积V=

1

3

×

1

2

×

7

4

=

7

24

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．