Question

函数f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx在[-

π

6

，

π

3

]的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，利用x的范围确定2x+

π

6

的范围，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．

解答： 解：f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx=

cos2x+1

4

+

3

4

sin2x=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=

1

2

+

1

4

=

3

4

，f（x）_min=-

1

4

+

1

4

=0，
∴函数f（x）的取值范围是[0，

3

4

]，
故答案为：[0，

3

4

]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的理解和运用．