Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x）．当-3＜x≤-1时，f（x）=x，当-1＜x≤2时，f（x）=（x-1）²，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+5）=f（x）可知f（x）是以5为周期的函数，根据题目信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）的值，再利用周期性即可得答案．

解答： 解：∵f（x+5）=f（x），
∴f（x）是以5为周期的函数，
∵-3＜x≤-1时，f（x）=x，
∴f（3）=f（-2）=-2，f（4）=f（-1）=-1，
又∵当-1＜x≤2时，f（x）=（x-1）²，
∴f（0）=1=f（5），f（1）=（1-1）²=0，
f（2）=（2-1）²=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0+1-2-1+0=-2，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）
=402×[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（5）]+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
=402×（-2）+（-2）
=-806．
故答案为：-806．

点评：本题考查了函数的周期性的应用，由题意求得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的和是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．