Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁∩A₁B=E，AC₁∩A₁C=M，F为B₁C₁的中点，其直观图和三视图如图所示，

（1）求证：EF⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由正方形性质得AB₁⊥A₁B，由线面垂直得A₁B⊥AC₁，同理，A₁C⊥AC₁，从而得到AC₁⊥平面A₁BC，由此能证明EF⊥平面A₁BC．
（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的平角．

解答： （1）证明：∵ABB₁A₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B，
∵B₁C₁⊥BB₁，B₁C₁⊥A₁B₁，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴B₁C₁⊥A₁B，∴A₁B⊥AC₁，
同理，A₁C⊥AC₁，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵EF∥AC₁，∴EF⊥平面A₁BC．
（2）解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知B（0，0，0），A₁（a，0，a），A（a，0，0），C（0，a，0），

BA1

=(a，0，a)，

BC

=(0，a，0)，
平面BAA₁的法向量

m

=(0，1，0)，
设平面A₁BC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • BA1 =ax+az=0 n • BC =ay=0

，取x=1，得

n

=(1，0，-1)，
设二面角二面角A-A₁B-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

0

2

|，
∴二面角A-A₁B-C的平角为90°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．