Question

函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）在同一个周期内，当x=

π

4

时y取最大值2，当x=

7π

12

时，y取最小值-2．
（1）求函数的解析式y=f（x）．
（2）x∈[0，

π

3

]，求f（x）的值域且画出f（x）在[0，

π

3

]上的简图．
（3）求函数y=

1

3

sin（3x-

π

4

）+2对称轴方程、对称中心坐标，叙述函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到函数y=

1

3

sin（3x-

π

4

）+2的图象？

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的最值可得A，再根据周期求得ω，再由五点法作图求得φ，可得函数的解析式．
（2）根据x∈[0，

π

3

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．再根据五点法作图画出f（x）在[0，

π

3

]上的简图．
（3）由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，求得函数对称轴方程、对称中心坐标，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答： 解：（1）由函数的最值可得A=2，再根据

1

2

T=

1

2

•

2π

ω

=

7π

12

-

π

4

，求得ω=3．
再由五点法作图可得 3×

π

4

+φ=

π

2

，∴φ=-

π

4

，故函数的解析式y=f（x）=2sin（3x-

π

4

）．
（2）∵x∈[0，

π

3

]，∴3x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，∴sin（3x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）的值域为[-

2

，2]．
画出f（x）在[0，

π

3

]上的简图：
列表：

3x- π 4	- π 4	0	π 2	3π 4
x	0	π 12	π 4	π 3
f（x）	- 2	0	1	2

作图：
（3）对于函数y=

1

3

sin（3x-

π

4

）+2，令3x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

kπ

3

+

π

4

，
故函数的对称轴方程为x=

kπ

3

+

π

4

，k∈z．
令3x-

π

4

=kπ，k∈z，求得x=

kπ

3

+

π

12

，
故函数的对称中心的坐标为（

kπ

3

+

π

12

，0）k∈z．
把函数y=sinx的图象向右平移

π

4

个单位，可得y=sin（x-

π

4

）的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的

1

3

倍，可得函数y=sin（3x-

π

4

）的图象；
再把所得图象上点的纵坐标变为原来的

1

3

倍，可得函数y=

1

3

sin（3x-

π

4

）的图象；
再把所得图象向上平移2个单位，可得函数y=

1

3

sin（3x-

π

4

）+2的图象．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，用五点法作y=Asin（ωx+φ）在闭区间上的简图，y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．