Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，cos

A+C

2

=

3

3

．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a+c=2

6

，b=2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式左边利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式求出cosB的值即可；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵cos

A+C

2

=

3

3

，
∴cos

π-B

2

=sin

B

2

=

3

3

，
则cosB=1-2sin²

B

2

=

1

3

；
（Ⅱ）∵b=2

2

，cosB=

1

3

，即sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即9=a²+c²-

2

3

ac=（a+c）²-

8

3

ac，
将a+c=2

6

代入得：ac=6，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×6×

2 2

3

=2

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．