Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都等于a，若A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB₁与底面ABC所成的角的余弦值等于（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  6

• C、

  7

  3

• D、

  14

  7

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：利用题目条件，ED∥A₁O，∴ED⊥面ABC，∴作出AB₁与底面ABC所成的角∠EAD，在Rt△ADE中，先计算∠EAD正弦值，再求余弦值．

解答： 解：设A₁在底面ABC内的射影为O，O为△ABC的中心，OA=OB=OC，A₁A=A₁B=A₁C=a，∴正四面体A₁-ABC，
AB₁∩A₁B=E，E为A₁B中点，D为OB中点，∴ED∥A₁O，∴ED⊥面ABC，∴∠EAD即AB₁与底面ABC所成的角，OA=OB=

3

3

a，在Rt△AA₁O中，
A₁O=

AA12-OA2

=

6

3

a，ED=

1

2

A₁O=

6

6

a，在正三角形A₁AB中，AE=

3

2

a，∴在Rt△ADE中，sin∠EAD=

DE

AE

=

2

3

，
∴cos∠EAD=

7

3

故选：C．

点评：本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，考查了转化思想和空间想象能力．