Question

已知sinα+cosα=

7

5

，且0＜α＜

π

4

．
（Ⅰ）求sinαcosα、sinα-cosα的值；
（Ⅱ）求

sin3α

1+tanα

-

sinα•cos3α

sinα+cosα

的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求出sinαcosα的值，再利用完全平方公式变形求出sinα-cosα的值即可；
（Ⅱ）原式利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，利用同分母分式的减法法则计算，约分后将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵sinα+cosα=

7

5

两边平方得：1+2sinαcosα=

49

25

，
∴sinαcosα=

12

25

，
∵（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

1

25

，
又∵0＜α＜

π

4

，
∴sinα-cosα=-

1

5

；
（Ⅱ）∵sinαcosα=

12

25

，sinα-cosα=-

1

5

，
∴原式=

cosαsin3α-sinαcos3α

sinα+cosα

=

sinαcosα(sinα+cosα)(sinα-cosα)

sinα+cosα

=sinαcosα（sinα-cosα）=-

12

125

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．