Question

已知矩阵M=

2 0 0 2

，记绕原点逆时针旋转

π

4

的变换所对应的矩阵为N．
（Ⅰ）求矩阵N；    
（Ⅱ）若曲线C：xy=1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）利用矩阵变换公式，即可求矩阵N；    
（Ⅱ）求出MN，可得坐标之间的关系，代人方程xy=1整理，即可求曲线C′的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，矩阵N=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

．…（3分）
（Ⅱ）矩阵MN=

1 -1 1 1

，它所对应的变换为

x′=x-y y′=x+y

解得

x= x′+y′ 2 y= y′-x′ 2

把它代人方程xy=1整理，得（y′）²-（x′）²=4，
即经过矩阵MN变换后的曲线C′方程为y²-x²=4…（7分）

点评：本题给出矩阵变换，求曲线C在矩阵M对应变换作用下得到的曲线C'方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识，属于中档题．