Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（

an

2

）²+

an

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n=

a12+1

a12-1

+

a22+1

a22-1

+

a32+1

a32-1

+…+

an2+1

an2-1

，求证：T_n＜

an

2

+1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=（

an

2

）²+

an

2

，得4S_n=a_n²+2a_n，由此推导出a_n+1-a_n-2=0，从而能求出a_n=2n，n∈N^*．
（2）由

an2+1

an2-1

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

4n2-1

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用分组求和法和裂项求和法能证明T_n＜

an

2

+1．

解答： 解：（1）∵S_n=（

an

2

）²+

an

2

，
∴4S_n=a_n²+2a_n，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1
4S_n+1-4S_n=4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）-2（a_n+1+a_n）=0
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵{a_n}是正项数列，∴a_n+1-a_n-2=0，
又∵a₁=S₁=

a12

4

+

a1

2

，解得a₁=2，或a₁=0，（舍）．
∴数列{a_n}是首项为2、公差为2的等差数列，
∴a_n=2n，n∈N^*．
（2）∵

an2+1

an2-1

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

4n2-1

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴T_n=n+（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=n+1-

1

2n+1

＜n+1
=

an

2

+1．
∴T_n＜

an

2

+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分组求和法的合理运用．