Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=1，a₂+b₂=5，a₃+b₃=9．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，由题意列式求出公比和公差，则{a_n}，{b_n}的通项公式可求；
（2）直接利用错位相减法求数列{

an

bn

}的前n项和．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，a₁=b₁=1，a₂+b₂=5，a₃+b₃=9
则

a1+d+b1q=5 a1+2d+b1q2=9

，即

d+q=4…① 2d+q2=8…②

，②-①×2得，q²-2q=0，
∴q=2，q=0（舍），代入①得d=2．
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1，b_n=2^n-1
（2）

an

bn

=

2n-1

2n-1

∴S_n=1+

3

2

+

5

4

+

7

8

+…+

2n-1

2n-1

，…③

1

2

S_n=

1

2

+

3

4

+

5

8

+

7

16

+…+

2n-1

2n

…④
③-④得

1

2

S_n=1+

2

2

+

2

4

+

2

8

+

2

16

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=1+2（

1 2 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

）-

2n-1

2n

=3-

2n-5

2n

∴S_n=6-

2n-5

2n-1

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．