Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F₁（-c，0）（c＞0）到圆C：（x-2）²+（y-4）²=1上任意一点距离的最大值为6，且过椭圆右焦点F₂（c，0）与上顶点的直线与圆O：x²+y²=

1

2

相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A，B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，

(-c-2)2+42

+1=6，可得c=1，过椭圆右焦点F₂（c，0）与上顶点的直线与圆O：x²+y²=

1

2

相切，可求b，从而可得椭圆E的方程；
（2）l：y=-x+m与椭圆E联立，因为以AB为直径的圆与y轴相切，所以圆心到y轴的距离即圆心横坐标等于半径，由弦长公式可求得|AB|，从而可得半径，利用韦达定理及中点坐标公式可求得m的值．

解答： 解：（1）由题意，

(-c-2)2+42

+1=6，
∵c＞0，∴c=1，
过椭圆右焦点F₂（c，0）与上顶点的直线方程为

x

1

+

y

b

=1，即bx+y-b=0，
∵过椭圆右焦点F₂（c，0）与上顶点的直线与圆O：x²+y²=

1

2

相切，
∴

|-b|

1+b2

=

2

2

，
∴b=1，
∴a=

2

，
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）直线l：y=-x+m与椭圆E联立可得3x²-4mx+2m²-2=0，△＞0，得m²＜3．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

，
∴AB的中点横坐标为

2m

3

，
∵以AB为直径的圆的半径为r=

2

2

|x₁-x₂|=|

x1+x2

2

|，
∴（x₁+x₂）²=8x₁x₂，即（

4m

3

）²=8•

2m2-2

3

，
∴m²=

3

2

＜3，
∴m=±

6

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础．