Question

如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=

π

2

，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：
（Ⅰ）EC⊥CD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；
（Ⅲ）求：几何体EG-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；
（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE；
（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG-ABCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD，…（3分）
又CD?平面BCDA，故EC⊥CD…（4分）
（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，
则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD=

1

2

BC，
∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…（6分）
∵DM?平面BDE，AG?平面BDE，∴AG∥平面BDE…（8分）
（Ⅲ）解：VEG-ABCD=VD-BCEG+VG-ABD=

1

3

SBCEG•DC+

1

3

S△ABD•BG…（10分）
=

1

3

×

2+1

2

×2×2+

1

3

×

1

2

×1×2×1=

7

3

…（12分）

点评：本题考查面面垂直、线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键．