Question

（理）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．
（1）求f（

1

2

）和f（

1

n

）+f（

n-1

n

）（n∈N^*）的值；
（2）数列f（x）满足a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），（n∈N^*）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）b_n=

1

an-1

，S_n=

4n

2n+1

，T_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²，试比较T_n与S_n的大小．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）分别令x=

1

2

，x=

1

n

，结合条件，即可求出结果；
（2）令x=

k

n

，再应用倒序求和求出a_n，再由等差数列的定义，即可得证；
（3）先对b_n化简，再将b_n²放缩，即b_n²＜2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），再用裂项相消求和，再整理即可得到答案．

解答： （1）解：∵f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2，
∴x=

1

2

时有f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=2，∴f(

1

2

)=1，
令x=

1

n

(n∈N*)时有f(

1

n

)+f(1-

1

n

)=2，∴f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=2；
（2）证明：f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2，
则令x=

k

n

时有f(

k

n

)+f(

n-k

n

)=2，
∵a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），
∴a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）+…+f（

1

n

）+f（0），
∴2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…+[f（

n-1

n

）+f（

1

n

）]+[f（1）+f（0）]，
∴2a_n=2（n+1）（n∈N^*）
∴a_n=n+1（n∈N^*）
∴a_n+1-a_n=（n+2）-（n+1）=1（n∈N^*），
∴{a_n}是等差数列．
（3）解：由（2）有bn=

1

an-1

=

1

n

(n∈N*)
∴bn2=

1

n2

=

4

4n2

＜

4

4n2-1

=

4

(2n+1)(2n-1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²＜2[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=2（1-

1

2n+1

）=

4n

2n+1

=S_n
∴T_n＜S_n

点评：本题主要考查函数的对称性及应用，同时考查等差数列的定义和通项公式，以及数列求和，及数列不等式的证明：放缩法，是一道综合题．