Question

已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量

a1

=

1 1

，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量

a2

=

1 -1

，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

Answer 1

考点：矩阵特征值的定义,变换、矩阵的相等

专题：选作题,矩阵和变换

分析：利用特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得A，即可求得逆矩阵A^-1．

解答： 解：设A=

a b c d

，则
∵二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量

a1

=

1 1

，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量

a2

=

1 -1

，
∴

a b c d

1 1

=3

1 1

，

a b c d

1 -1

=

1 -1

，
∴

a+b=3 c+d=3

且

a-b=-1 c-d=1

，
∴a=1，b=2，c=2，d=1，
∴A=

1 2 2 1

，
∴A^-1=

1 3 2 3 2 3 1 3

．

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于中档题．