Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）．
（1）求数列的通项公式a_n；
（2）求和：a₂+a₅+a₈+…+a₉₂；
（3）求

n

k=1

|ak|的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得{a_n}是等差数列，由此利用a₁=8，a₄=2，能求出a_n=10-2n．
（2）a₂，a₅，a₈，a₉₂是首项为6，公差为-6的第差数列，由此能求出a₂+a₅+a₈+…+a₉₂．
（3）b_n=|a_n|，当n≤5时，a_n≥0，b_n=a_n；当n≥6时，a_n＜0，b_n=-a_n．由此能求出

n

k=1

|ak|．

解答： 解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）．
∴a_n+2+a_n=2a_n+1，
∴{a_n}是等差数列，
设{a_n}的公差为d，
∵a₁=8，a₄=2，
∴a₄-a₁=3d=2-8=-6，d=-2，
∴a_n=10-2n．
（2）∵a_n=10-2n，∴a₂，a₅，a₈，a₉₂是首项为6，公差为-6的第差数列，
∵92=2+（m-1）×3，解得m=31，
∴a₂+a₅+a₈+…+a₉₂=31×6+

31×30

2

×(-6)=-93．
（3）由（1）可得{a_n}的前n项和为：
T_n=8n+

n(n-1)

2

×(-2)=9n-n²，a_n=10-2n，
令b_n=|a_n|，
当n≤5时，a_n≥0，b_n=a_n；
当n≥6时，a_n＜0，b_n=-a_n；
∴当n≤5时，

n

k=1

|ak|=9n-n²；
当n≥6时，

n

k=1

|ak|=2T₅-T_n=n²-9n+40．
∴

n

k=1

|ak|=

9n-n2，n≤5 n2-9n+40，n≥6

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查数列的绝对值的和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．