Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=2．AB=2

2

，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）求CB₁与平面AA₁B₁B所成的角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由线面垂直得AC⊥CC₁，由勾股定理得AC⊥BC，从而得到AC⊥面BCC₁B₁，由此能证明AC⊥BC₁．
（Ⅱ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）求出平面AA₁B₁B的法向量，利用向量法能求出CB₁与平面AA₁B₁B所成的角正切值．

解答： （Ⅰ）证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥面ABC，
∴AC⊥CC₁，
∵AC=BC=BB₁=2．AB=2

2

，
∴AC⊥BC，
∵CC₁∩BC=C，
∴AC⊥面BCC₁B₁，
∵BC₁?面BCC₁B₁，∴AC⊥BC₁．
（Ⅱ）证明：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，
CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），
C（0，0，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），

CD

=(1，1，0)，

CB1

=(0，2，2)，

AC1

=(-2，0，2)，
设平面CDB₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • CD =x+y=0 n • CB1 =2y+2z=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，1)，
∵

n

•

AC1

=-2+0+2=0，AC₁不包含于平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：

AB1

=(-2，2，2)，

AB

=(-2，2，0)，
设平面AA₁B₁B的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • AB1 =-2x1+2y1+2z1=0 m • AB =-2x1+2y1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，1，0)，
∵

CB1

=(0，2，2)，
设CB₁与平面AA₁B₁B所成的角为θ，
sinθ=|cos＜

CB1

，

n

＞|=|

2

2 • 8

|=

1

2

，
∴θ=30°，tanθ=

3

3

，
∴CB₁与平面AA₁B₁B所成的角正切值为

3

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．