Question

已知{a_n}是首项a₁=2且公比q≠1的等比数列，a₁，2a₂，3a₃依次成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式

Sn-1

Sn+1-1

＞λ对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出公比利用已知等差关系，以及等比数列通项公式，求出公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{a_n}的前n项和为S_n，求出

Sn-1

Sn+1-1

的最小值，即可求实数λ的范围．

解答： 解：（Ⅰ） 由题，设{a_n}的公比为q，则a_n=2q^n-1，
由a₁，2a₂，3a₃依次成等差数列，所以4a₂=2+3a₃．           …（2分）
即8q=2+6q²，解得q=1或q=

1

3

又q≠1，故q=

1

3

                …（4分）
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=

2

3n-1

．                       …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=

2

3n-1

，所以S_n=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3（1-

1

3n

）        …（8分）
则

Sn-1

Sn+1-1

=

2- 1 3n-1

2- 1 3n

=

2×3n-1-3

2×3n-1

=1-

2

2×3n-1

，
∵2×3ⁿ-1≥5，∴1-

2

2×3n-1

∈[

3

5

，1)…（11分）
由

Sn-1

Sn+1-1

＞λ恒成立，得λ＜

3

5

．                       …（13分）

点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和以及函数恒成立关系，考查计算能力、转化思想．