Question

已知sinθ，cosθ是关于x的方程x²-ax+a=0（a∈R）的两个根．
（1）求cos³（

π

2

-θ）+sin³（

π

2

-θ）的值；
（2）求tan（π-θ）-

1

tanθ

的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）依题意，由△≥0，可求得a的取值范围，利用韦达定理与三角函数间的关系可求得a=sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-

2

，从而可求cos³（

π

2

-θ）+sin³（

π

2

-θ）的值；
（2）利用诱导公式，将所求关系式中的“切”化“弦”，通分整理，将sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-

2

代入可得答案．

解答： 解：依题意，△=（-a）²-4a≥0，解得a≥4或a≤0，
又

sinθ+cosθ=a sinθ•cosθ=a

，
所以（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，即a²-2a-1=0，解得a=1-

2

或a=1+

2

（舍去），
因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-

2

．
（1）cos³（

π

2

-θ）+sin³（

π

2

-θ）
=sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）
=（1-

2

）[1-（1-

2

）]=

2

-2．
（2）tan（π-θ）-

1

tanθ

=-

sinθ

cosθ

-

cosθ

sinθ

=-

sin2θ+cos2θ

sinθcosθ

=-

1

1- 2

=

2

+1．

点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查韦达定理的应用，求得sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-

2

是关键，属于中档题．