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设函数f(x)=(x-1)2+blnx,其中b为常数.
(1)当b>
12
时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;
(2)若函数f(x)的有极值点,求b的取值范围及f(x)的极值点.
分析:(1)首先函数的定义域为(0,+∞),然后求出函数的导数f′(x),将f′(x)变形后,再结合x>0和b>
1
2
得f′(x)>0,可得函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.
(2)方程f′(x)=0在(0,∞)有两个不相等的实数根时,函数有极值.然后利用根的判别式算得当b<
1
2
时,函数存在极值点,最后根据b≤0和0<b<
1
2
两种情况分别得出函数的极值点.
解答:解:(1)由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=2x-2+
b
x
=
2x2-2x+b
x
=
2(x-
1
2
)
2
+b-
1
2
x
(x>0)

∴当b>
1
2
时,f'(x)>0,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增. 
(2)①由(Ⅰ)得,当b≥
1
2
时,f′(x)=
2(x-
1
2
)
2
+b-
1
2
x
≥0
函数f(x)无极值点.
②当b<
1
2
时,f′(x)=0有两个不同解,x1=
1
2
-
1-2b
2
x2=
1
2
+
1-2b
2

∴i)b≤0时,x1=
1
2
-
1-2b
2
≤0∉(0,+∞)舍去
x2=
1
2
+
1-2b
2
≥1∈(0,+∞)

此时f′(x),f(x)随x在定义域上的变化情况如下表:
x (0,x2 x2 (x2,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) 极小值
由此表可知:当b≤0时,f(x)有唯一极小值点,x=
1
2
+
1-2b
2

ii)   当0<b<
1
2
时,0<x1<x2<1 此时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x (0,x1 x1 (x1,x2 x2 (x2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
由此表可知:当0<b<
1
2
时,f(x)有一个极大值x1=
1
2
-
1-2b
2
和一个极小值点x2=
1
2
+
1-2b
2

综上所述:当且仅当b<
1
2
时f(x)有极值点;
当b≤0时,f(x)有唯一最小值点x=
1
2
+
1-2b
2

0<b<
1
2
时,f(x)有一个极大值点x=
1
2
-
1-2b
2
和一个极小值点x=
1
2
+
1-2b
2
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性和含有字母参数的函数极值的讨论,属于中档题.
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设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列;
④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
其中真命题的个数为(  )

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2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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(2)设0<a≤1,记f(x)在(0,a]上的最大值为F(a),求函数的最小值;
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