【题目】已知函数,若关于x的方程
有四个不等实根,且
恒成立,则实数
的最小值为________.
【答案】
【解析】
函数是分段函数,通过求导分析得到函数
在
上为增函数,在
上为增函数,在
上为减函数,求得函数
在
上,当
时有一个极大值1,所以要使方程
有四个实数根,
的值一个要在
内,一个在
内,然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解
和
的取值范围,从而求出
的最小值.
,
当时,
恒成立,所以
在
上为增函数,
当时,
,
由,得
,当
时,
,
为增函数,
当时,
,
为减函数,
所以函数的极大值为
,
极小值为:,如图:
令,由韦达定理得:
,
,
(1)因为当,且
时,方程
没有实根,故舍去.
(2)又当,且
(不妨设),由图象可得
至多有三个实根,
由此可得方程至多有三个实根,不符合题意.
(3)若是方程
的根,代入可得
,所以
,解得
,而根据图象可知
无解,
和
都只有一个根,不符合题意.
故要使方程有四个不等实数根,
则方程应有两个不相同的正实根,
即,且
,此时
,且一个根在
内,一个根在
内,
再令,
因为,①
,
则,②
则只需,即
,
所以,③
将③式平方可得:,④
由①②解得:,⑤
由④得到:,由④⑤得到:
,
所以,
.
所以本题答案为.
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【题目】我市准备实施天然气价格阶梯制,现提前调查市民对天然气价格阶梯制的态度,随机抽查了名市民,现将调查情况整理成了被调查者的频率分布直方图(如图)和赞成者的频数表如下:
年龄(岁) | ||||||
赞成人数 |
(1)若从年龄在,
的被调查者中各随机选取
人进行调查,求所选取的
人中至少有
人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率;
(2)若从年龄在,
的被调查者中各随机选取
人进行调查,记选取的
人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为
,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】在一次田径比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示。
若将运动员按成绩由好到差编为1—35号,再用系统抽样方法从中抽取5人,则其中成绩在区间上的运动员人数为
A.6B.5C.4D.3
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【题目】已知函数的部分图象如图所示:
(I)求的解析式及对称中心坐标;
(Ⅱ)将的图象向右平移
个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数
的图象,求函数
在
上的单调区间及最值.
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【题目】已知三棱锥P﹣ABC中,AC⊥BC,AC=BC=2,PA=PB=PC=3,O是AB中点,E是PB中点.
(1)证明:平面PAB⊥平面ABC;
(2)求点B到平面OEC的距离.
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【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1:甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
图1:乙套设备的样本的频率分布直方图
(1)根据表1和图1,通过计算合格率对两套设备的优劣进行比较;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附:
0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
参考公式:,其中
.
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【题目】已知函数(
,
为自然对数的底数).
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求
的单调区间;
(2)若函数有两个极值点,求实数
的取值范围;
(3)证明:当时,
.
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