Question

设m，n∈R，定义在区间[m，n]上的函数f（x）=log₂（4-|x|）的值域是[0，2]，若关于t的方程（

1

2

）^|t|+m+1=0（t∈R）有实数解，则m+n的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=log₂（4-|x|）的值域是[0，2]，可解得m=-3，0≤n≤3，或-3≤m≤0，n=3；又由关于t的方程（

1

2

）^|t|+m+1=0（t∈R）有实数解可解得-2≤m＜-1，则n=3，从而求m+n的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=log₂（4-|x|）的值域是[0，2]，
∴1≤4-|x|≤4，
∴0≤|x|≤3，
∴m=-3，0≤n≤3，或-3≤m≤0，n=3；
又∵关于t的方程（

1

2

）^|t|+m+1=0（t∈R）有实数解，
∴m=-（（

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2

）^|t|+1），
∵1＜（

1

2

）^|t|+m+1≤2，
∴-2≤m＜-1，
则n=3，
则1≤m+n＜2，
即答案为：[1，2）．

点评：本题考查了函数的定义域的确定，同时考查了方程与函数的转化，属于中档题．