Question

设函数f（x）=

1

3

x³-ax，g（x）=bx²+2b-1．
（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，求实数a，b的值；
（2）当a=1，b=0时，求函数h（x）=f（x）+g（x）在区间[t，t+3]内的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）分别求出函数f（x），g（x）的导数，由于曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，所以f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1），列出方程，解出即可；
（2）写出h（x）的解析式，求出单调增区间和减区间，得到h（-2）=h（1），讨论①当t+3＜1，②当-2≤t＜1时，③当t≥1时，通过单调性，分别求出最小值即可．

解答： 解：（1）因为f（x）=

1

3

x³-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1，
所以f′（x）=x²-a，g′（x）=2bx．
因为曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，
所以f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1），
即

1

3

-a=b+2b-1，且1-a=2b，
解得a=

1

3

，b=

1

3

．
（2）当a=1，b=0时，h（x）=

1

3

x³-x-1，b=

1-a

2

，
则由（2）可知，函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
因为h（-2）=-

5

3

，h（1）=-

5

3

，所以h（-2）=h（1）．
①当t+3＜1，即t＜-2时，[h（x）]_min=h（t）=

1

3

t³-t-1．
②当-2≤t＜1时，[h（x）]_min=h（-2）=-

5

3

．
③当t≥1时，h（x）在区间[t，t+3]上单调递增，[h（x）]_min=h（t）=

1

3

t³-t-1．
综上可知，函数h（x）在区间[t，t+3]上的最小值
[h（x）]_min=

1 3 t3-t-1，t∈(-∞，-2)∪[1，+∞) - 5 3 ，t∈[-2，1).

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．