Question

【题目】设函数f(x)＝|2x＋3|－|2x－a|，a∈R.

(1)若不等式f(x)≤－5的解集非空，求实数a的取值范围；

(2)若函数y＝f(x)的图象关于点对称，求实数a的值.

Answer 1

【答案】(1)(－∞，－8]∪[2，＋∞).(2)a＝1.

【解析】试题分析：

（1）若不等式的解集非空，得，即可求实数的取值范围；

（2）若函数的图象关于点对称， ，即可求实数的值.

试题解析：

(1)||2x＋3|－|2x－a||≤|2x＋3－2x＋a|＝|3＋a|，

∵不等式f(x)≤－5的解集非空，

∴－|3＋a|≤－5，

∴a≤－8或a≥2.

故实数a的取值范围是(－∞，－8]∪[2，＋∞).

(2)∵函数y＝f(x)的图象关于点对称，

∴f＋f＝0，

∴|2x＋2|－|2x－1－a|＋|－2x＋2|－|－2x－1－a|＝0，

由于对任意x为实数均成立，∴a＝1.