【题目】已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0.且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有成立,求c1+c2+…+c2016的值.
【答案】(1)bn=3n-1;(2).
【解析】试题分析:(1)由等差数列通项公式用公差表示出,再由等比数列的性质可求得,从而得,这样解得,于是可得公比,进而得通项;(2)由已知首先求得;再由已知等式可得,两式相减可得,于是有,从而可求得其前项和.
试题解析:(1)∵a2=1+d,a5=1+4d,
a14=1+13d,且a2,a5,a14成等比数列,
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
解得d=2,d=0(舍去).
∴an=1+(n-1)×2=2n-1,
又∵b2=a2=3,b3=a5=9.
∴等比数列{bn}的公比q=3,b1=1,bn=3n-1.
(2)∵,①
∴,即c1=b1a2=3.
又,②
①-②得, =an+1-an=2,
∴cn=2bn=2×3n-1(n≥2),
∴cn=
则c1+c2+c3+…+c2016
=3+2×31+2×32+…+2×32016-1
=3+2×(31+32+…+32015)
=.
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【题目】设f(x)=ln x,g(x)=x|x|.
(1)求g(x)在x=-1处的切线方程;
(2)令F(x)=x·f(x)-g(x),求F(x)的单调区间;
(3)若任意x1,x2∈[1,+∞)且x1>x2,都有m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,函数f(x)=3+2sin xcos x+2cos2x且f(A)=5.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
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【题目】已知椭圆C: 的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点相同,且椭圆C上一点与椭圆C的左,右焦点F1,F2构成的三角形的周长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的重心G满足: ,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)及其导数f′(x),若存在x0,使得f(x0)=f′(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,则下列函数中有“巧值点”的是________.
①f(x)=x2;②f(x)=e-x;③f(x)=lnx;④f(x)=tanx;⑤.
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【题目】已知抛物线T的焦点为F,准线为l,过F的直线m与T交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,M为AB的中点,若m与l不平行,则△CMD是( )
A. 等腰三角形且为锐角三角形
B. 等腰三角形且为钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 非等腰的直角三角形
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【题目】设函数f(x)=|2x+3|-|2x-a|,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤-5的解集非空,求实数a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)的图象关于点对称,求实数a的值.
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)的离心率为.
(Ⅰ)若原点到直线x+y-b=0的距离为,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A,B两点,对于椭圆上任意一点M,总存在实数λ、μ,使等式成立,求λ2+μ2的值.
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