Question

【题目】已知椭圆 (a>b>0)的离心率为.

(Ⅰ)若原点到直线x＋y－b＝0的距离为，求椭圆的方程；

(Ⅱ)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点，对于椭圆上任意一点M，总存在实数λ、μ，使等式成立，求λ2＋μ2的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)λ2＋μ2＝1

【解析】试题分析：（1）由点到直线的距离公式与，可得a,b,c及椭圆方程。（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，设直线方程为y＝x－c，直线与椭圆方程组方程组得到A,B点坐标的韦达定理，由等式，可得M(),把A，B,M三点坐标代入椭圆方程，及韦达可得λ2＋μ2＝1.

试题解析：(Ⅰ)∵d＝＝，∴b＝2.

又∵e＝＝，∴e2＝，

∴b2＝a2－c2＝a2＝4，得a2＝12，b2＝4.

∴椭圆的方程为.

(Ⅱ)∵e＝＝，∵a2＝b2＋c2，

∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，

又直线方程为y＝x－c，

联立4x2－6cx＋3c2－3b2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2，

显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等式成立．

设M(x，y)，则由得,

代入椭圆方程整理得λ2＋μ2＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.

又∵＝3b2， ＝3b2，

x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0，

∴λ2＋μ2＝1.