Question

【题目】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，M是CC1中点．

(Ⅰ)求证：平面AB1M⊥平面A1ABB1；

(Ⅱ)过点C作一截面与平面AB1M平行，并说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析

【解析】试题分析：(Ⅰ) 连结交于，则是的中点，取中点，连结，推导出四边形是平行四边形，从而，求出，从而平面，由此能证明平面平面；(Ⅱ) 取中点中点，连结，则截面是过点与平面平行的截面，先证明 ，利用面面平行的判定定理能证明平面平面.

试题解析：(Ⅰ)证明：连接A1B交AB1于点P，

易知P是A1B的中点.

取AB中点D，连接CD，PD，MP.

因为M，D分别是CC1，AB的中点，

所以DP∥CM，且DP＝CM.

所以四边形MCDP是平行四边形.

所以CD∥MP.

又AC＝BC，所以CD⊥AB，

因为CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥CD，

又AA1∥CC1，∴CD⊥AA1，

所以CD⊥平面A1ABB1，所以MP⊥平面A1ABB1.

又因为MP平面AB1M，所以平面AB1M⊥平面A1ABB1，

(Ⅱ)解：取AB中点D，BB1中点N，连接CD，CN，DN，则截面CDN为所求，

由D，N分别是AB，BB1的中点知DN∥AB1，

又在矩形BCC1B1中，M是CC1中点，

∴B1N∥CM，B1N＝CM，∴四边形CMB1N是平行四边形，∴B1M∥CN，

∵CN，DN平面AB1M，B1M，AB1平面AB1M，

∴CN∥平面AB1M，DN∥平面AB1M，

∵CN∩DN＝N，CN，DN平面CDN，

∴平面CDN∥平面AB1M.