Question

【题目】已知函数 (其中e是自然对数的底数，k∈R)．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当函数有两个零点时，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：

本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。（2）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，

利用函数的单调性证明即可。

试题解析：

（1）解：∵

∴。

①当时，令，解得，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增。

②当时，恒成立，

∴函数在R上单调递增.

综上，当时，在上单调递减，在上单调递增。

当时，在R上单调递增.

（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。

所以。

设函数的两个零点为，

则，

设，

解得，

所以，

要证，

只需证，

设

设单调递增，

所以，

所以在区间上单调递增，

所以，

故．