Question

【题目】已知椭圆C： (a>b>0)，长轴长为4，离心率为.

(Ⅰ)椭圆的求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ＋y2＝1(Ⅱ)k∈(－2，－ )∪(，2).

【解析】试题分析：（1）由题意可得，解得即可；
（2）直线的方程为，设．与椭圆方程联立，由，解得 的取值范围．可得根与系数的关系．若 为锐角，则，把根与系数的关系代入又得到的取值范围，取其交集即可．

试题解析：(Ⅰ)依题意， ，解得，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(Ⅱ)如图，依题意，直线l的斜率必存在，

设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程组，消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，

由韦达定理，x1＋x2＝，x1x2＝，

∴y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，

因为直线l与椭圆C相交，则Δ>0，

即256k2－48(1＋4k2)>0，

解得k<－或k>，

当∠AOB为锐角时，向量，则x1x2＋y1y2>0，

即＋>0，解得－2<k<2，

故当∠AOB为锐角时，k∈(－2，－ )∪(，2).