【题目】四棱锥S-ABCD中的底面是菱形,∠BAD=60°,SD⊥底面ABCD,SD=AB=2,E、F分别为SB、CD的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面SAD;
(Ⅱ)点P是SB上一点,若SB⊥平面APC,试确定点P的位置.
【答案】(1)见解析;(2) 当SP∶PB=3∶1时,SB⊥平面APC.
【解析】试题分析:(Ⅰ)取SA的中点M,连接EM,DM,可证四边形EFDM是平行四边形,即可证明EF∥平面SAD;(Ⅱ)连接BD,由ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,可得BD,再由SD⊥底面ABCD,SD=2,可得SB=SC,取BC中点Q,连接SQ,作CP⊥SB于点P,可证得△BSQ∽△BCP,即可得SP∶PB,然后连接AP,可证AP⊥SB,即可证此时SB⊥平面APC.
试题解析:(Ⅰ)证明:取SA的中点M,连接EM,DM
在△SAB中,EM∥AB,EM=AB
又∵DF∥AB,DF=AB
∴EM=DF,EM∥DF
∴四边形EFDM是平行四边形
∴EF∥DM
又∵ EF平面SAD,DM平面SAD
∴ EF∥平面SAD
(Ⅱ)解:连接BD,因为ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,所以BD=2,
因为SD⊥底面ABCD,SD=2,所以,可得SB=SC=
在等腰三角形SBC中,取BC中点Q,连接SQ,作CP⊥SB于点P,
可证得△BSQ∽△BCP,所以,即
,得
此时SP∶PB=
下面证明当SP∶PB=3∶1时,SB⊥平面APC.
连接AP,易知△APB≌△CPB,所以∠APB=∠CPB=90°,即AP⊥SB,
又CP⊥SB,AP∩CP=P,AP平面APC,CP平面APC,
所以SB⊥平面APC.
所以当SP∶PB=3∶1时,SB⊥平面APC.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),长轴长为4,离心率为
.
(Ⅰ)椭圆的求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
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【题目】某校对2000名高一新生进行英语特长测试选拔,现抽取部分学生的英语成绩,将所得数据整理后得出频率分布直方图如图所示,图中从左到右各小长方形面积之比为,第二小组频数为12.
(Ⅰ)求第二小组的频率及抽取的学生人数;
(Ⅱ)若分数在120分以上(含120分)才有资格被录取,约有多少学生有资格被录取?
(Ⅲ)学校打算从分数在和
分内的学生中,按分层抽样抽取4人进行改进意见问卷调查,若调查老师随机从这4人的问卷中(每人一份)随机抽取两份调阅,求这两份问卷都来自英语测试成绩在
分的学生的概率.
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【题目】已知抛物线C:y2=ax(a>0)上一点P(t, )到焦点F的距离为2t.
(l)求抛物线C的方程;
(2)抛物线上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,﹣1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1×k2为定值.
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【题目】设数列的前n项和为
,已知
(p、q为常数,
),又
,
,
.
(1)求p、q的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在正整数m、n,使成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对
;若不存在,说明理由.
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【题目】在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域,及矩形表演台
四个部分构成(如图).看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以
,
为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍;矩形表演台
中,
米;三角形水域
的面积为
平方米.设
.
(Ⅰ)当时,求
的长;
(Ⅱ)若表演台每平方米的造价为万元,求表演台的最低造价.
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【题目】(导学号:05856325)已知函数f(x)=+eln x,直线l:y=kx(k≠0)与函数f(x)的图象相切于点A(t,f(t))(f(t)≠0),则( )
A. t∈(0,1) B. t∈(1,e) C. t∈(e,3) D. t∈(3,e2)
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【题目】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ) 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+φ) | 0 | 5 | -5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
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