Question

【题目】已知（为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）（1）；（2） 见解析.

【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，通过讨论的范围，分别令求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间；（II）（1）由（Ⅰ）知，当时， 在R上为增函数， 不合题意；当时， 的递增区间为，递减区间为，只需，即可解得的取值范围；（2）分离参数,问题转化为证明证明,不妨设,记,则,因此只要证明： ，即根据函数的单调性证明即可.

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为R， ，（1）当时， 在R上恒成立，∴在R上为增函数； （2）当时，令得，令得，∴的递增区间为，递减区间为；

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当时， 在R上为增函数， 不合题意；

当时， 的递增区间为，递减区间为，

又，当时， ，∴有两个零点，则，解得；

（2）由（Ⅱ）（1），当时， 有两个零点，且在上递增， 在上递减，依题意， ，不妨设．

要证，即证，

又，所以，

而在上递减，即证，

又，即证，（ ）．

构造函数，

，∴在单调递增，

∴，从而，

∴，（ ），命题成立．