【题目】如图,已知抛物线x2=y,点,抛物线上的点
,过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围;
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
【答案】(1)(-1,1).(2) .
【解析】试题分析:
(1)通过点在抛物线上,可设
,利用斜率公式结合
可得结论;
(2)通过(1)值,
,设直线
的斜率为
,联立直线
方程可知
点坐标,进而可用
表示
,计算
,通过令
,求导结合单调性可得结论.
试题解析:
(1)由题意得P(x,x2),-<x<
.
设直线AP的斜率为k,
故k==x-
∈(-1,1),
故直线AP斜率的取值范围为(-1,1).
(2)由(1)知P,-
<x<
,
则直线AP的方程为:y=kx+k+
,
直线BQ的方程为:y=-x+
+
,
联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ=
,
因为|PA|==
(k+1),
|PQ|=(xQ-x)=-
,
所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,
令f(k)=-(k-1)(k+1)3,则f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,
当k∈时,f′(k)>0;当k∈
时,f′(k)<0,
所以f(k)在区间上单调递增,在区间
上单调递减.
因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值
.
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【题目】已知椭圆C: 的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点相同,且椭圆C上一点与椭圆C的左,右焦点F1,F2构成的三角形的周长为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的重心G满足: ,求实数m的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=|2x+3|-|2x-a|,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤-5的解集非空,求实数a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)的图象关于点对称,求实数a的值.
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【题目】设函数f(x)=|2x+1|+|x+1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤8的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)>|a-2|对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(其中
为参数),以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
(其中
为常数).
(1)若直线与曲线
恰好有一个公共点,求实数
的值;
(2)若,求直线
被曲线
截得的弦长.
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)的离心率为
.
(Ⅰ)若原点到直线x+y-b=0的距离为,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A,B两点,对于椭圆上任意一点M,总存在实数λ、μ,使等式成立,求λ2+μ2的值.
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【题目】2016年1月,某国宣布成功进行氢弹试验后,A,B,C,D四国领导人及联合国主席纷纷表示谴责,就此,某电视台特别邀请一军事专家对这一事件进行评论,若该军事专家计划从A,B,C,D四国及联合国主席这5个领导人中任选2人的发言态度进行评论,那么,他评论的这2人中至少包括A、B一国领导人的概率为( )
A. B.
C.
D.
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