Question

【题目】已知函数 (a为常数)有两个极值点．

(1)求实数a的取值范围；

(2)设f(x)的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，转化为对应一元二次方程有两个正根，再根据实根分布列不等式组，解得实数a的取值范围；（2）分离参数转化为对应函数最值问题： 最大值，再化简为a的函数，利用导数可得其值域，即得λ的最小值．

试题解析：(1)f′(x)＝＋x－a＝ (x＞0)，

于是f(x)有两个极值点等价于二次方程x2－ax＋a＝0有两正根，

设其两根为x1，x2，则，解得a＞4，

不妨设x1＜x2，此时在(0，x1)上f′(x)＞0，在(x1，x2)上f′(x)＜0，在(x2，＋∞)上f′(x)＞0.

因此x1，x2是f(x)的两个极值点，符合题意．

所以a的取值范围是(4，＋∞)．

(2)f(x1)＋f(x2)＝alnx1＋x－ax1＋alnx2＋x－ax2

＝alnx1x2＋ (x＋x)－a(x1＋x2)

＝alnx1x2＋ (x1＋x2)2－x1x2－a(x1＋x2)＝a(lna－a－1)．

于是＝lna－a－1，

令φ(a)＝lna－a－1，则φ′(a)＝－.

因为a＞4，所以φ′(a)＜0.于是φ(a)＝lna－a－1在(4，＋∞)上单调递减，

因此＝φ(a)＜φ(4)＝ln4－3，且可无限接近ln4－3.

又因为x1＋x2＞0，故不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)等价于＜λ，

所以λ的最小值为ln4－3.