【题目】已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,函数f(x)=3+2sin xcos x+2cos2x且f(A)=5.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数,再解简单三角方程得角A(2)先根据余弦定理得4=b2+c2-bc,再利用基本不等式得bc最大值,根据三角形面积公式即得△ABC面积的最大值.
试题解析:(1)由题意可得:f(A)=3+2sin Acos A+2cos2A=5,
∴2sin Acos A=2(1-cos2A),
∴sin A(cos A-sin A)=0,
∵A∈(0,π),∴sin A≠0,
∴sin A=cos A,即tan A=
,A=
.
(2)由余弦定理可得:
4=b2+c2-2bccos,
4=b2+c2-bc≥bc(当且仅当b=c=2时“=”成立),
∴S△ABC=bcsin A=
bc≤
×4=
,
故△ABC面积的最大值是.
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【题目】“扶贫帮困”是中华民族的传统美德,某校为帮扶困难同学,采用如下方式进行一次募捐:在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个,红球三个,每位献爱心的参与者投币20元有一次摸奖机会,一次性从箱子中摸球三个(摸完球后将球放回),若有一个红球,奖金10元,两个红球奖金20元,三个全是红球奖金100元.
(1)求献爱心参与者中将的概率;
(2)若该次募捐900位献爱心参与者,求此次募捐所得善款的数学期望.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线
交椭圆E于A,B两点,△ABF1的周长为16,△AF1F2的周长为12.
(1)求椭圆E的标准方程与离心率;
(2)若直线l与椭圆E交于C,D两点,且P(2,2)是线段CD的中点,求直线l的一般方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,将曲线
上的所有点横坐标伸长为原来的
倍,纵坐标伸长为原来的2倍后,得到曲线
,在以
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程是
.
(1)写出曲线的参数方程和直线
的直角坐标方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离
最大,并求出此最大值.
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【题目】设函数是定义在
上的单调函数,且对于任意正数
有
,已知
,若一个各项均为正数的数列
满足
,其中
是数列
的前
项和,则数列
中第18项
( )
A. B. 9 C. 18 D. 36
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【题目】已知椭圆C: 的左焦点为F(-1,0),经过点F的直线l0与椭圆交于A,B两点.当直线l0⊥x轴时,|AB|=
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)作直线l⊥x轴,分别过A,B作AA1⊥l,垂足为A1,BB1⊥l,垂足为B1,且△A1FB1是直角三角形.问:是否存在直线l使得∠A1FO=2∠B1FO?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0.且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有成立,求c1+c2+…+c2016的值.
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【题目】某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布,发现其投资者年龄大多集中在区间[20,50]岁之间,对区间[20,50]岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
组数 | 分组 | 人数(单位:人) |
第一组 | [20,25) | 2 |
第二组 | [25,30) | a |
第三组 | [30,35) | 5 |
第四组 | [35,40) | 4 |
第五组 | [40,45) | 3 |
第六组 | [45,50] | 2 |
(Ⅰ)求a的值并画出频率分布直方图;
(Ⅱ)在统计表的第五与第六组的5人中,随机选取2人,求这2人的年龄都小于45岁的概率.
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