Question

已知等差数列{a_n}的首项及公差均为正数，令bn=

an

+

a2012-n

(n∈N*，n＜2012)．
（1）若等差数列{a_n}的首项为20，公差为1，则b₆=

50

；
（2）当b_k是数列{b_n}的最大项时，k=

1006

．

Answer 1

分析：（1）依题意可求得等差数列{a_n}的通项a_n=19+n，从而可求得b₆；
（2）〖特值法〗不妨令a_n=n，可求得

b

2 n

=2

-(n-1006)2+10062

+2012，利用二次函数的性质可得答案；
〖直接法〗由于a_n＞0，利用基本不等式且b_n=

an

+

a2012-n

≤

2(an+a2012-n)

=2

a1006

即可求得答案；

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}的首项为20，公差为1，
∴a_n=19+n，则b₆=

a6

+

a2006

=

25

+

2025

=50；
（2）〖特值法〗不妨令a_n=n，则b_n=

n

+

2012-n

，
于是

b

2 n

=2012+2

-n2+2012n

=2012+2

-(n-1006)2+10062

，
∴n=1006时取得最大值，故k=1006．
〖直接法〗由于a_n＞0，且b_n=

an

+

a2012-n

≤

2(an+a2012-n)

=

4a1006

=2

a1006

；
当且仅当a_n=a_2012-n（n∈N^*，n＜2012），即n=2012-n，也即n=1006时取“=”．
故k=1006．
故答案为：（1）50；（2）1006

点评：本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查特值法与基本不等式法的综合应用，属于中档题．