Question

已知：

a

=（2cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，2cosx）．设函数f（x）=

a

•

b

-

3

（x∈R）求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）若f(

α

2

-

π

6

)-f(

α

2

+

π

12

)=

6

，且α∈(

π

2

，π)，求α．

Answer 1

分析：利用向量的数量积公式求出f（x），利用三角函数的二倍角公式及公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+α)化简三角函数
（1）利用y=Asin（ωx+φ）+k的周期公式T=

2π

|ω|

求出三角函数的周期．
（2）利用整体思想令整体角在正弦的单调递增区间上，解出x的范围即为函数的单调递增区间．
（3）令f（x）的x用自变量代替，利用特殊角的三角函数值求出角．

解答：解：f(x)=a•b-

3

=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=sin2x+

3

(2cos2x-1)
=sin2x+

3

cos2x
=2sin(2x+

π

3

)

（1）函数f（x）的最小正周期最小正周期为T=

2π

2

=π
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

5π

6

≤2x≤2kπ+

π

6

∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，(k∈Z)
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，（k∈Z）
（3）∵f(

α

2

-

π

6

)-f(

α

2

+

π

12

)=

6

，∴2sinα-2cosα=

6

∴2

2

sin(α-

π

4

)=

6

，∴sin(α-

π

4

)=

3

2

∵α∈(

π

2

，π)，∴α-

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

，
∴α-

π

4

=

π

3

或

2π

3

，∴α=

7π

12

或

11π

12

（13分）

点评：本题考查向量的数量积公式、利用三角函数的二倍角公式及公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+α)化简三角函数
三角函数的周期公式、整体处理的思想．