Question

14．已知函数f（x）=x²-2ax+3．
（1）若f（1）=2，求实数a的值；
（2）当x∈R时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当x∈（0，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将x=1代入，解相应方程可得实数a的值；
（2）当x∈R时，f（x）≥0恒成立，则△=4a²-12≤0，解得答案；
（3）（3）当x∈（0，2]时，f（x）≥0恒成立，则函数的最小值大于等于0，分类讨论函数的最小值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-2ax+3．
∴f（1）=4-2a=2，
解得：a=1，
（2）若当x∈R时，f（x）≥0恒成立，
则△=4a²-12≤0，
解得：a∈[$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$]，
（3）函数f（x）=x²-2ax+3的图象是开口朝上且以直线x=a为对称轴的抛物线，
当a≤0时，若f（x）＞f（0）=3≥0恒成立，满足条件；
当0＜a＜2时，由f（x）≥f（a）=3-a²≥0得：a∈[$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$]，此时0＜a≤$\sqrt{3}$；
当a≥2时，由f（x）≥f（2）=7-4a≥0得a≤$\frac{7}{4}$，不满足存在满足条件的a值．
综上所述，满足条件的实数a的取值范围为（-∞，$\sqrt{3}]$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．