Question

19．已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，且当x＞0时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出该函数在定义域内的图象，并结合图象说出f（x）的单调性；
（3）求该函数f（x）在[-4，-1]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，则-x＞0，利用条件，求出函数的解析式，即可得出结论；
（2）作出该函数在定义域内的图象，利用图象可得f（x）的单调性；
（3）函数f（x）在[-4，-1]上单调递减，即可求该函数f（x）在[-4，-1]的最大值和最小值．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
∴f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$，
∵f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-\frac{1}{x}，x＜0}\\{x+\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）函数在定义域内的图象如图所示：

单调增区间（-1，0），（1，+∞）；单调减区间（-∞，-1），（0，1）；
（3）函数f（x）在[-4，-1]上单调递减，最大值f（-4）=$\frac{17}{4}$，最小值f（-1）=2．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．