Question

10．已知函数f（x）=2x+$\frac{3}{x}$在（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]上为减函数，[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）上为增函数．请你用单调性的定义证明：f（x）=2x+$\frac{3}{x}$在（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）上为减函数．

Answer 1

分析 根据减函数的定义，设任意的${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{\sqrt{6}}{2}）$，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得出f（x）在（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）上为减函数．

解答 证明：设${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{\sqrt{6}}{2}）$，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=2{x}_{1}+\frac{3}{{x}_{1}}-2{x}_{2}-\frac{3}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（2-\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{\sqrt{6}}{2}）$，且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$0＜{x}_{1}{x}_{2}＜\frac{3}{2}$；
∴$2-\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（2-\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）上为减函数．

点评 考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差比较f（x₁），f（x₂）的方法，作差后是分式的一般需通分，并且一般要提取公因式x₁-x₂，不等式性质的运用．