Question

15．现有一块正三棱锥形石料，其三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长为1m，若要将这块石料打磨成一个石球，则所得石球的最大半径为$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 利用三棱锥的体积的两种求法，列出关于该正三棱锥的内切球的半径的等式，求出内切球的半径．

解答 解：设正三棱锥内切球的半径为r，根据三棱锥的体积的两种求法，得
$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{3}×[\frac{1}{2}×1×1×3+\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}）^{2}]r$
∴r=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$，
故答案为：$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查棱锥的结构特征，内切球的知识，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．