Question

20．函数f（x）=m+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）是奇函数．
（1）求实数m的值．
（2）判断函数的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）先通分得到f（x）=$\frac{m•{2}^{x}+m+2}{{2}^{x}+1}$，从而得到f（-x）=$\frac{m+（m+2）•{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，根据f（x）为奇函数，从而f（-x）=-f（x），这样即可得出m的值；
（2）可以看出，x增大时，f（x）减小，从而f（x）为减函数，用定义证明：设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，便可证明f（x₁）＞f（x₂），这样即可得出f（x）在R上为减函数．

解答 解：（1）f（x）为奇函数；
$f（x）=m+\frac{2}{{2}^{x}+1}=\frac{m•{2}^{x}+m+2}{{2}^{x}+1}$；
∴$f（-x）=\frac{m•{2}^{-x}+m+2}{{2}^{-x}+1}=\frac{m+（m+2）•{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=$-\frac{m•{2}^{x}+m+2}{{2}^{x}+1}$；
∴（m+2）•2^x+m=-m•2^x-（m+2）；
∴m+2=-m；
∴m=-1；
（2）$f（x）=-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$，该函数为减函数；
证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}=\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
∴$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在R上为减函数．

点评 考查奇函数、减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，以及作差比较f（x₁）与f（x₂）的方法，作差后是分式的一般需通分．