Question

10．函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]时f（x）=2x-x²
（1）求f（2005）
（2）期当x∈[-2，0]时，函数f（x）的解析式；
（3）证明函数f（x）是奇函数．

Answer 1

分析 （1）根据f（x+2）=-f（x）便可得出f（x）=f（x+4），从而说明f（x）是周期为4的周期函数，从而便可得出f（2005）=f（1）=1；
（2）可设x∈[-2，0]，从而x+2∈[0，2]，根据条件便有f（x）=-f（x+2）=-[2（x+2）-（x+2）²]，这样便求出了x∈[-2，0]时的f（x）解析式；
（3）x∈[-2，0]时，有-x∈[0，2]，这样根据f（x）在[-2，0]和[0，2]上的解析式即可得出f（-x）=-f（x），这便说明f（x）在一个周期[-2，2]上为奇函数，从而便可得出它在整个定义域上为奇函数．

解答 （1）解：根据条件，f（x）=-f（x+2）=-[-f（x+4）]=f（x+4）；
∴f（x）是周期为4的周期函数；
∴f（2005）=f（1+501×4）=f（1）=1；
（2）解：设x∈[-2，0]，x+2∈[0，2]；
∴f（x+2）=2（x+2）-（x+2）²=-f（x）；
∴f（x）=x²+2x；
（3）证明：x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]；
∴f（x）=x²+2x，f（-x）=-x²-2x；
∴f（-x）=-f（x）；
∴f（x）在[-2，2]上是奇函数；
即f（x）在一个周期[-2，2]上为奇函数；
∴f（x）在R上是奇函数．

点评 考查周期函数的定义，函数奇偶性的定义及判断方法和过程，知道周期函数在一个周期上为奇函数时，可得到它在整个定义域上都是奇函数．