Question

1．已知函数f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$，g（x）=log₂f（x）．
（Ⅰ）求函数g（x）的定义域，并判断函数g（x）的单调性；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，关于x的方程|f（a^x）|²+m|（f（a^x）|+2m+3=0在区间（0，+∞）上还有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$＞0，从而求函数的定义域，再由复合函数的单调性判断函数的单调性；
（Ⅱ）可知y=a^x在（0，+∞）上单调递减，且0＜a^x＜1；而当0＜x＜1时，f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$的值域为（-1，+∞）；从而判断方程x²+mx+2m+3=0的两根可能位置，从而求m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$＞0，
即$\frac{1}{3}$＜x＜1，
即函数g（x）的定义域为（$\frac{1}{3}$，1）；
f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$=-3-$\frac{2}{x-1}$，
故f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$在（$\frac{1}{3}$，1）上是增函数，
又∵y=log₂x在定义域上是增函数，
∴函数g（x）在（$\frac{1}{3}$，1）上是增函数；
（Ⅱ）∵0＜a＜1，∴y=a^x在（0，+∞）上单调递减，
且0＜a^x＜1；
而当0＜x＜1时，f（x）=$\frac{3x-1}{1-x}$的值域为（-1，+∞）；
则方程x²+mx+2m+3=0的两根可能为x₁=0，x₂∈（0，1）；
此时，2m+3=0，解得，m=-$\frac{3}{2}$；x₂=$\frac{3}{2}$，不成立；
方程x²+mx+2m+3=0的两根可能为x₁=1，x₂∈（0，1）；
此时可解得，m=-$\frac{4}{3}$，x₁=1，x₂=$\frac{1}{3}$，成立；
故方程x²+mx+2m+3=0的两根可能为x₁∈（1，+∞），x₂∈（0，1）；
故$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（2m+3）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-m＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=2m+3＞0}\\{1+m+2m+3＜0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{3}{2}$＜m＜$-\frac{4}{3}$；
综上所述，实数m的取值范围为（-$\frac{3}{2}$，$-\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查了复合函数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了绝对值方程的解法与应用，属于难题．