Question

19．已知函数f（x）=mx²+3（m-2）x-1在区间（-∞，3]上单调递减，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m＜0
• B． m=$\frac{2}{3}$
• C． 0≤m≤$\frac{2}{3}$
• D． m≥$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 首先对参数进行分类讨论①m=0；②m≠0，进一步对二次函数的对称轴和单调区间进行分类讨论，最后通过几种情况的分析取集合的并集，求得相应的结果．

解答 解：①当m=0时，函数f（x）=-6x-1，根据一次函数的单调性得：函数在区间（-∞，3]上单调减函数．
②当m＞0时，函数f（x）=mx²+3（m-2）x-1的对称轴方程为：x=$\frac{3（2-m）}{2m}$，
由于函数在（-∞，3]上单调减函数，
所以：$\frac{3（2-m）}{2m}$≥3，
解得：0＜m≤$\frac{2}{3}$．
③当m＜0时，函数f（x）=mx²+3（m-2）x-1的对称轴方程为：x=$\frac{3（2-m）}{2m}$，
由于函数在（-∞，3]上单调减函数，
而对于开口方向向下的抛物线在（-∞，3]不可能是递减函数．
所以m∈∅．
综上所述：m的取值范围为：0≤m≤$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查的知识要点：二次函数的对称轴与单调区间的关系，分类讨论思想的应用．属于中档题．