Question

6．已知数列{a_n}满足a_n=n（n十1）²，是否存在等差数列{b_n}，使a_n=1•b₁+2•b₂+…+n•b_n对一切正整数n都成立？请证明你的结论．

Answer 1

分析 假设存在等差数列{b_n}，使a_n=1•b₁+2•b₂+…+n•b_n对一切正整数n都成立．当n=1，2，3时，a₁=4=b₁；a₂=18=b₁+2b₂；a₃=48=1•b₁+2•b₂+3b₃．
联立解得b₁=4，b₂=7，b₃=10．可得b_n=3n+1．nb_n=3n²+n．代入验证即可．

解答 解：假设存在等差数列{b_n}，使a_n=1•b₁+2•b₂+…+n•b_n对一切正整数n都成立．
当n=1，2，3时，a₁=4=b₁；a₂=18=b₁+2b₂；a₃=48=1•b₁+2•b₂+3b₃．
联立解得b₁=4，b₂=7，b₃=10．
∴公差d=7-4=3，
∴b_n=4+3（n-1）=3n+1．
∴nb_n=3n²+n．
验证：1•b₁+2•b₂+…+n•b_n=3×（1²+2²+…+n²）+$\frac{n（n+1）}{2}$=$3×\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）²=a_n．
∴存在等差数列{b_n}，其通项公式为b_n=3n+1，使a_n=1•b₁+2•b₂+…+n•b_n对一切正整数n都成立．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．