Question

15．定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当-1≤x＜0时，f（x）=-$\frac{81}{4x+1}$．
（I）求f（x）在[-1，1]上解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并给予证明．

Answer 1

分析 （I）求出0＜x≤1时，函数的解析式，f（0）=0，即可求f（x）在[-1，1]上解析式；
（Ⅱ）f（x）在（0，1]上的单调递增，利用导数的方法给予证明．

解答 解：（I）设0＜x≤1，则-1≤-x＜0，
∵当-1≤x＜0时，f（x）=-$\frac{81}{4x+1}$，
∴f（-x）=-$\frac{81}{-4x+1}$，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=$\frac{81}{-4x+1}$，
∵f（0）=0，
∴f（x）在[-1，1]上解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{81}{4x+1}，-1≤x＜0}\\{0，x=0}\\{\frac{81}{-4x+1}，0＜x≤1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）f（x）在（0，1]上的单调递增，证明如下：
∵f（x）=$\frac{81}{-4x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-81×（-4）}{（-4x+1）^{2}}$＞0，
∴f（x）在（0，1]上的单调递增．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．